Добровольский Ю.Н.

В данной статье предлагается тест Фукса - Ковалевской - Пенлеве для решения модельной задачи о напорной фильтрации газовой смеси в сплошной среде. Необходимость применения этого теста объясняется тем, что многочисленными исследованиями установлено, что многие известные интегрируемые нелинейные уравнения математической физики обладают свойством Фукса - Ковалевской – Пенлеве. Были найдены также новые уравнения с таким свойством. При проверке более сложных уравнений и систем уравнений на тест Фукса - Ковалевской – Пенлеве могут появляться резонансы с высокими номерами. При этом трудности аналитического решения быстро нарастают. Однако в виду высокой алгоритмичности тест допускает успешное использование методов символьных вычислений. Например, с помощью системы Maple V удалось провести полную классификацию интегрируемых случаев уравнений мелкой воды с диссипацией и дисперсией низших порядков. Идея метода состоит в следующем. По аналогии с обыкновенными дифференциальными уравнениями решения уравнений с частными производными можно искать в виде разложений, содержащих особенность типа подвижного полюса. Положение полюса задается с помощью произвольной функции. Первоначально решение ищется в окрестности сингулярного многообразия x-x0(t)=0 в виде обоснованного в статье разложения, где показатель α – целое положительное число, что обеспечивает полюсный характер подвижной особенности решения. Функция x0(t) считается произвольной. Полученное решение будет общим, если в это разложение войдут произвольные функции, причем число этих функций равно порядку рассматриваемого уравнения. Далее решение уравнения в частных производных ищут в окрестности сингулярного многообразия ε(x,t)=0 в установленном статье виде - обобщенного разложения симметричного по независимым переменным. Показано, как хорошо работает тест Фукса – Ковалевской – Пенлеве для уравнения Бюргерса. Установлено, что имеется один резонанс n=2, для которого удовлетворяется соотношение совместности, поэтому его решение имеет требуемый произвол в две функции. При тестировании первого уравнения рассмотренной системы методом Фукса - Ковалевской – Пенлеве, было установлено следующее: Первое. Поскольку оба слагаемые правой части уравнения имеют квадратичную нелинейность, то отсутствует особенность типа подвижного полюса, а присутствует алгебраическая точка ветвления. Поэтому решение искалось в виде степенного ряда общего вида. При этом получены некоторые решения полностью совпадающие с решениями, найденными в автором раннее. Второе. Поскольку с функциональной точки зрения все уравнения системы имеют одинаковую природу, то этим свойством обладают и остальные уравнения системы. Третье. При взятии достаточно большого числа слагаемых в одном или другом разложении, трудности аналитического решения быстро нарастают, поэтому был выполнен согласованный обрыв членов ряда начиная с некоторого k. В противном случае, можно использовать систему символьных вычислений, например, пакет Maple V или Maple VII. Четвертое. Полезность полученных результатов заключается в том, что подбирая исходное решение таким образом, по ним можно априори выйти на нужный исследователю результат. Пятое. В следующей статье будет показано, как применить полученные разложения к данной системе или найти преобразование (если оно существует), линеаризующее данную систему.

Загрузить (pdf)